🎲 Combinatoria y ProbabilidadCombinatòria i probabilitatKonbinatoria eta Probabilitatea Combinatorics & Probability

Ejemplos resueltos

  • Combinaciones (el orden no importa): en la Lotería Primitiva se eligen 6 números de 49. C(49, 6) = 49! ÷ (6! · 43!) = 13.983.816 combinaciones posibles, así que una apuesta tiene una probabilidad de acertar de 1 entre casi 14 millones.
  • Variaciones (el orden importa): en una carrera de 8 corredores, los podios posibles (oro, plata y bronce) son V(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.
  • Binomial: al lanzar una moneda 10 veces, la probabilidad de sacar exactamente 5 caras es C(10, 5) · 0,5¹⁰ = 252 ÷ 1.024 ≈ 24,6 %. Aunque 5 es el resultado más probable, lo normal es no obtenerlo exactamente.
  • Probabilidad clásica: con dos dados, la suma 7 aparece en 6 de los 36 resultados posibles: 6 ÷ 36 ≈ 16,7 %, la suma más frecuente.

Errores frecuentes

  • Elegir mal entre combinación y variación: pregúntate si cambiar el orden da un resultado distinto. En un podio sí; en un boleto de lotería, no.
  • La falacia del jugador: si una moneda ha salido cara 5 veces seguidas, la siguiente sigue teniendo un 50 % de ser cara. Los lanzamientos son independientes.
  • Sumar probabilidades que no son excluyentes: la probabilidad de «A o B» es P(A) + P(B) − P(A y B) cuando ambos sucesos pueden ocurrir a la vez.

Exemples resolts

  • Combinacions (l'ordre no importa): A la Loteria Primitiva, es trien 6 números de 49. C(49, 6) = 49! ÷ (6! · 43!) = 13.983.816 combinacions possibles, així que una aposta té una probabilitat d'1 entre gairebé 14 milions de ser encertada.
  • Variants (l'ordre importa): en una cursa de 8 corredors, els possibles podis, (or, plata i bronze) són V(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.
  • Binomial: quan es llança una moneda 10 vegades, la probabilitat d'obtenir exactament 5 cares és C(10, 5) · 0,5¹⁰ = 252 ÷ 1.024 ≈ 24,6%. Tot i que 5 és el resultat més probable, normalment no s'obté exactament.
  • Probabilitat clàssica: amb dos daus, la suma 7 apareix en 6 dels 36 possibles resultats: 6 ÷ 36 ≈ 16,7%, la suma més freqüent.

Errors comuns

  • Triar l'elecció equivocada entre combinació i variació: Pregunta't si canviar l'ordre dóna un resultat diferent. En un podi, sí; en un bitllet de loteria, no.
  • La fal·làcia del jugador: si una moneda ha sortit cara 5 vegades seguides, la següent moneda encara és un 50% cara. Els sortejos són independents.
  • Afegint probabilitats que no són mútuament excloents: la probabilitat de "A o B" és P(A) + P(B) − P(A i B) quan ambdós esdeveniments poden ocórrer al mateix temps.

Adibide konponduak

  • Konbinazioak (ordenak ez du axola): Primitiva Loterian, 49tik 6 zenbaki aukeratzen dira. C(49, 6) = 49! ÷ (6! · 43!) = 13.983.816 konbinazio posible, beraz, apustu batek ia 14 milioitik 1 aukera du irabazteko.
  • Aldakuntzak (ordena garrantzitsua): 8 korrikalari dituen lasterketa batean, podium posibleak (urrea, zilarra eta brontzea) V(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.
  • Binomiala: txanpon bat 10 aldiz botatzean, zehazki 5 aurkako probabilitatea C(10, 5) · 0,5¹⁰ = 252 ÷ 1.024 ≈ %24,6. 5 emaitza probableena bada ere, normalean ez da zehazki lortzen.
  • Probabilitate klasikoa: bi dadoekin, 7 batura 36 emaitzetatik 6tan agertzen da: 6 ÷ 36 ≈ %16,7, gehien den batura da.

Ohiko akatsak

  • Konbinazioaren eta aldakortasunaren artean aukeraketa okerra: Galdetu zeure buruari ordena aldatzeak emaitza desberdina ematen duen. Podium batean, bai; loteria txartel batean, ez.
  • Jokalariaren falazia: txanpon bat 5 aldiz jarraian aurpegira atera bada, hurrengo txanpona %50 burukoa da oraindik. Tirak independenteak dira.
  • Elkar baztertzen ez diren probabilitateak gehituz: "A edo B" probabilitatea P(A) + P(B) − P(A eta B) da, bi gertaerak aldi berean gerta daitezkeenean.

Worked examples

  • Combinations (order doesn't matter): in a 6-from-49 lottery, C(49, 6) = 49! ÷ (6! · 43!) = 13,983,816 possible combinations, so one ticket has a 1 in almost 14 million chance.
  • Permutations (order matters): in a race with 8 runners, the possible podiums (gold, silver, bronze) are P(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336.
  • Binomial: tossing a coin 10 times, the probability of exactly 5 heads is C(10, 5) · 0.5¹⁰ = 252 ÷ 1,024 ≈ 24.6%. Although 5 is the most likely result, you usually won't get exactly that.
  • Classical probability: with two dice, a sum of 7 appears in 6 of the 36 possible outcomes: 6 ÷ 36 ≈ 16.7%, the most frequent sum.

Common mistakes

  • Choosing combination vs. permutation wrongly: ask whether changing the order gives a different result. On a podium it does; on a lottery ticket it doesn't.
  • The gambler's fallacy: if a coin has landed heads 5 times in a row, the next toss still has a 50% chance of heads. Tosses are independent.
  • Adding probabilities that aren't mutually exclusive: P(A or B) is P(A) + P(B) − P(A and B) when both events can happen together.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una combinación?

Una combinación C(n,k) es el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n, sin importar el orden y sin repetición. Fórmula: C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!). Ejemplo: de 10 personas elegir 3 para un premio sin importar el orden → C(10,3) = 120.

¿Diferencia entre permutación y combinación?

En una permutación P(n,k) el orden importa; en una combinación C(n,k) no. Ejemplo: la contraseña «123» y «321» son distintas permutaciones pero la misma combinación de dígitos.

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial B(n,p) modela el número de éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. La probabilidad de obtener exactamente k éxitos es: P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k).

¿Qué son las variaciones con repetición?

Las variaciones con repetición VR(n,k) = n^k cuentan el número de ordenaciones de k posiciones donde cada posición puede tomar cualquiera de los n valores (se puede repetir). Ejemplo: contraseñas de 4 dígitos del 0–9 → 10^4 = 10 000.

Què és una combinació?

Una combinació C(n,k) és el nombre de maneres d'escollir k elements d'un conjunt de n, independentment de l'ordre i sense repetició. Fórmula: C(n,k) = n! / (k!· (n−k)!). Exemple: de 10 persones trien 3 per a un premi independentment de l'ordre → C(10,3) = 120.

Diferència entre permutació i combinació?

En una permutació P(n,k) l'ordre importa; en una combinació C(n,k) no. Exemple: la contrasenya "123" i "321" són permutacions diferents però la mateixa combinació de dígits.

Què és la distribució binomial?

La distribució binomial B(n,p) modela el nombre d'èxits en n intents independents, cadascun amb una probabilitat d'èxit p. La probabilitat d'obtenir exactament k èxits és: P(X=k) = C(n,k)·p^k· (1−p)^(n−k).

Quines són les variacions amb la repetició?

Les variacions amb repetició VR(n,k) = n^k compten el nombre d'ordres de k posicions on cada posició pot prendre qualsevol dels n valors (repetible). Exemple: contrasenyes de 4 dígits del 0 al 9 → 10^4 = 10.000.

Zer da konbinazio bat?

C(n,k) konbinazioa da n multzo batetik k elementu aukeratzeko modu kopurua, ordena edozein dela ere eta errepikapenik gabe. Formula: C(n,k) = n! / (k!· (n−k)!). Adibidea: 10 pertsonetatik 3 aukeratzen dituzte sari baterako, ordena edozein dela ere→ C(10,3) = 120.

Permutazioaren eta konbinazioaren arteko aldea?

P(n,k) permutazio batean, ordenak garrantzia du; C(n,k) konbinazioan ez du garrantzirik. Adibidez: "123" eta "321" pasahitzak permutazio desberdinak dira baina digitu konbinazio bera.

Zer da banaketa binomiala?

B(n,p) banaketa binomialak n saiakera independenteetan lortutako arrakasta kopurua modelatzen du, bakoitzak arrakasta probabilitate p duena. K arrakasta zehatz-mehatz lortzeko probabilitatea hau da: P(X=k) = C(n,k)·p^k· (1−p)^(n−k).

Zer dira errepikapenaren aldaerak?

Errepikapen VR(n,k) = n^k aldaketak k posizioen ordena kopurua kontatzen dute, non posizio bakoitzak n balio edozein har dezakeen (errepikagarria). Adibidea: 0–9 → 10^4 = 10.000 zenbakiko 4 digituko pasahitzak.

What is a combination?

A combination C(n,k) is the number of ways to choose k items from n without regard to order and without repetition. Formula: C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!). Example: choose 3 people from 10 for a prize → C(10,3) = 120.

Difference between permutation and combination?

In a permutation P(n,k) order matters; in a combination it does not. Example: passwords «123» and «321» are different permutations but the same combination of digits.

What is the binomial distribution?

The binomial distribution B(n,p) models the number of successes in n independent trials each with probability p. Exactly k successes: P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k).

What are variations with repetition?

Variations with repetition VR(n,k) = n^k count ordered arrangements of k positions where each position can take any of the n values (repetition allowed). Example: 4-digit PINs from 0–9 → 10^4 = 10,000.

Combinatoria y probabilidad: cuándo usar cada fórmula

La combinatoria cuenta de cuántas formas se pueden elegir o ordenar elementos. La calculadora cubre cuatro casos fundamentales:

Combinaciones C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): elegir k elementos de n sin importar el orden. Ejemplo: manos de póker, lotería. Permutaciones P(n,k) = n! / (n−k)!: igual pero el orden sí importa. Ejemplo: ordenar libros en una estantería. Variaciones con repetición = n^k: elegir k elementos de n pudiendo repetir. Ejemplo: contraseñas de k dígitos con n símbolos. Distribución binomial P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k): probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n intentos independientes con probabilidad p cada uno.

Probabilidad clásica

La probabilidad de un evento = número de casos favorables / número de casos totales posibles. Escala de 0 (imposible) a 1 (seguro). Para eventos independientes P(A y B) = P(A)·P(B); para eventos mutuamente excluyentes P(A o B) = P(A) + P(B). El complementario P(A no ocurre) = 1 − P(A).

Combinatòria i probabilitat: Quan utilitzar cada fórmula

La combinatòria compta quants elements de formes es poden triar o ordenar. La calculadora cobreix quatre casos clau:

Combinacions C(n,k) = n! / (k!( n−k)!): tria k elements de n independentment de l'ordre. Exemple: mans de pòquer, loteria. Permutacions P(n,k) = n! / (n−k)!: les mateixes però l'ordre importa. Exemple: col·locar llibres en una prestatgeria. Variacions amb repetició = n^k: triar k elements de n mentre pots repetir. Exemple: contrasenyes de k dígits amb n símbols. Distribució binomial P(X=k) = C(n,k)·p^k· (1−p)^(n−k): probabilitat d'obtenir exactament k èxits en n intents independents amb probabilitat p cadascun.

Probabilitat clàssica

La probabilitat d'un esdeveniment = nombre de casos favorables / nombre total de casos possibles. Escala de 0 (impossible) a 1 (segur). Per a esdeveniments independents P(A i B) = P(A)· P(B); per a esdeveniments mútuament excloents P(A o B) = P(A) + P(B). El complementari P(A no es produeix) = 1 − P(A).

Konbinatoria eta Probabilitatea: Noiz Erabili Formula bakoitza

Konbinatoriak zenbat forma diren elementuak aukeratu edo sailkatu daitezkeen kontatzen du. Kalkulagailuak lau kasu garrantzitsu hartzen ditu:

C(n,k) = n! / (k!( n−k)!): aukeratu k elementu n-en ordena edozein dela ere. Adibidea: poker eskuak, loteria. Permutazioak P(n,k) = n! / (n−k)!: berdinak baina ordenak garrantzia du. Adibidea: liburuak apal batean antolatu. Errepikapenarekin aldaketak = n^k: aukeratu k elementu n eta errepikatu ahal izateko. Adibidea: k digituko pasahitzak n sinboloekin. Banaketa binomiala P(X=k) = C(n,k)·p^k· (1−p)^(n−k): n saiakera independenteetan k arrakasta zehatz-mehatz lortzeko probabilitatea, p probabilitatearekin.

Probabilitate klasikoa

Gertaera baten probabilitatea = kasu onuragarrien kopurua / kasu posible guztien kopurua. Eskala 0tik (ezinezkoa) 1era (ziur). Gertaera independenteetarako P(A eta B) = P(A)· P(B); elkar baztertzaile diren gertaeretarako P(A edo B) = P(A) + P(B). Osagarri P(A ez da gertatzen) = 1 − P(A).

Combinatorics and probability: when to use each formula

Combinatorics counts the number of ways to choose or arrange elements. The calculator covers four fundamental cases:

Combinations C(n,k) = n! / (k!(n−k)!): choose k items from n where order doesn't matter. Examples: poker hands, lottery. Permutations P(n,k) = n! / (n−k)!: same but order matters. Example: arranging books on a shelf. Repetition variations = n^k: choose k items from n with repetition allowed. Example: k-character passwords with n symbols. Binomial distribution P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k): probability of exactly k successes in n independent trials each with probability p.

Classical probability

Probability of an event = favourable outcomes / total possible outcomes. Scale from 0 (impossible) to 1 (certain). For independent events P(A and B) = P(A)·P(B); for mutually exclusive events P(A or B) = P(A) + P(B). The complement P(A does not occur) = 1 − P(A).