Introduce los coeficientes de la ecuación ax + b = cIntroduïu els coeficients de l'equació ax + b = cSartu ax + b = c ekuazioaren koefizienteak Enter the coefficients of the equation ax + b = c
Ejemplos resueltos paso a paso
Primer grado: 3x + 7 = 22. Restamos 7 en ambos lados: 3x = 15. Dividimos entre 3: x = 5. Comprobación: 3 · 5 + 7 = 22 ✓.
Segundo grado: 2x² − 8x + 6 = 0, con a = 2, b = −8, c = 6. Discriminante: Δ = b² − 4ac = 64 − 48 = 16. Como Δ > 0 hay dos soluciones: x = (8 ± √16) / 4 = (8 ± 4) / 4, es decir, x = 3 y x = 1.
Sistema 2×2: x + y = 10 y 2x − y = 5. Sumando ambas ecuaciones se elimina la y: 3x = 15, así que x = 5; sustituyendo en la primera, y = 5.
Errores frecuentes
- Olvidar cambiar el signo al pasar un término: si sumaba en un lado, pasa restando al otro.
- Dividir entre la incógnita: en x² = 3x, dividir entre x hace perder la solución x = 0. Es mejor factorizar: x(x − 3) = 0.
- Equivocarse con el signo de b en la fórmula de segundo grado: si b = −8, entonces −b = +8 y b² = 64.
- No comprobar el resultado: sustituir la solución en la ecuación original detecta casi todos los errores en segundos.
Exemples resolts pas a pas
Primer grau: 3x + 7 = 22. Restem 7 a ambdós costats: 3x = 15. Dividim per 3: x = 5. Comprovació: 3 · 5 + 7 = 22 ✓.
Segon grau: 2x² − 8x + 6 = 0, amb a = 2, b = −8, c = 6. Discriminant: Δ = b² − 4ac = 64 − 48 = 16. Com que Δ > 0 hi ha dues solucions: x = (8 ± √16) / 4 = (8 ± 4) / 4, és a dir, x = 3 i x = 1.
Sistema 2×2: x + y = 10 i 2x − y = 5. Sumar ambdues equacions elimina el y: 3x = 15, així que x = 5; substituint en la primera, y = 5.
Errors comuns
- Oblidar canviar el signe quan es passa un terme: si s'afegeix per un costat, es resta per l'altre.
- Divideix per l'incògnita: en x² = 3x, dividir per x perd la solució x = 0. És millor factoritzar: x(x − 3) = 0.
- Errònim en el signe de b en la fórmula de segon grau: si b = −8, llavors −b = +8 i b² = 64.
- No comprovant el resultat: substituir la solució a l'equació original detecta gairebé tots els errors en segons.
Adibideak pausoz pauso konponduak
Lehen maila: 3x + 7 = 22. 7 kentzen ditugu bi aldeetan: 3x = 15. 3 zatitzen dugu: x = 5. Egiaztatu: 3 · 5 + 7 = 22 ✓.
Bigarren maila: 2x² − 8x + 6 = 0, a = 2, b = −8, c = 6. Diskriminatzailea: Δ = b² − 4ac = 64 − 48 = 16. Δ > 0 denez bi soluzio daude: x = (8 ± √16) / 4 = (8 ± 4) / 4, hau da, x = 3 eta x = 1.
Sistema 2×2: x + y = 10 eta 2x − y = 5. Bi ekuazioak batuz y: 3x = 15, beraz x = 5; lehenengoan ordezkatuz, y = 5.
Ohiko akatsak
- Termino bat pasatzean seinalea aldatzea ahaztea: alde batean gehitzen bada, bestean kentzen da.
- Zatitu ezezagunarekin: x² = 3x-n, x-rekin zatitzeak x = 0 soluzioa galtzen du. Hobe da faktore egitea: x(x − 3) = 0.
- B seinalea oker egitea bigarren mailako formulan: b = −8, orduan −b = +8 eta b² = 64.
- Emaitza ez egiaztatzea: jatorrizko ekuazioan soluzioa ordezkatzeak ia akats guztiak segundotan detektatzen ditu.
Step-by-step worked examples
Linear: 3x + 7 = 22. Subtract 7 from both sides: 3x = 15. Divide by 3: x = 5. Check: 3 · 5 + 7 = 22 ✓.
Quadratic: 2x² − 8x + 6 = 0, with a = 2, b = −8, c = 6. Discriminant: Δ = b² − 4ac = 64 − 48 = 16. Since Δ > 0 there are two solutions: x = (8 ± √16) / 4 = (8 ± 4) / 4, so x = 3 and x = 1.
2×2 system: x + y = 10 and 2x − y = 5. Adding both equations eliminates y: 3x = 15, so x = 5; substituting into the first, y = 5.
Common mistakes
- Forgetting to change the sign when moving a term: if it was added on one side, it is subtracted on the other.
- Dividing by the unknown: in x² = 3x, dividing by x loses the solution x = 0. Factorise instead: x(x − 3) = 0.
- Getting the sign of b wrong in the quadratic formula: if b = −8, then −b = +8 and b² = 64.
- Not checking the answer: substituting the solution into the original equation catches almost every error in seconds.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado?
Con la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, donde la ecuación tiene la forma ax² + bx + c = 0. Primero identifica a, b y c, calcula el discriminante y aplica la fórmula. Esta calculadora muestra los pasos completos.
¿Qué es el discriminante?
El discriminante Δ = b² − 4ac determina el número de soluciones reales: si Δ > 0 hay dos soluciones distintas, si Δ = 0 hay una solución doble, y si Δ < 0 no hay soluciones reales (son complejas).
¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones 2×2?
Los tres métodos clásicos son sustitución (despejar una incógnita y sustituir), igualación (despejar la misma incógnita en ambas) y reducción (sumar o restar ecuaciones para eliminar una incógnita). También puede resolverse con la regla de Cramer usando determinantes.
¿Cómo se resuelve una ecuación de primer grado?
Agrupa los términos con x a un lado y los números al otro, y despeja: ax + b = 0 → x = −b/a. Ejemplo: 3x + 6 = 0 → x = −6/3 = −2.
Com es resol una equació de segon grau?
Amb la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, on l'equació té la forma ax² + bx + c = 0. Primer identifica a, b i c, calcula el discriminant i aplica la fórmula. Aquest calculador mostra els passos complets.
Què és el discriminador?
El discriminant Δ = b² − 4ac determina el nombre de solucions reals: si Δ > 0 hi ha dues solucions diferents, si Δ = 0 hi ha una solució doble, i si Δ < 0 no hi ha solucions reals (són complexes).
Com es resol un sistema d'equacions 2×2?
Els tres mètodes clàssics són la substitució (eliminar un desconegut i substituir), l'equalització (eliminar el mateix desconegut en ambdós) i la reducció (sumar o restar equacions per eliminar un desconegut). També es pot resoldre amb la regla de Cramer utilitzant determinants.
Com es resol una equació de primer grau?
Agrupa els termes amb x a un costat i els nombres a l'altre, i aclareix: ax + b = 0 → x = −b/a. Exemple: 3x + 6 = 0 → x = −6/3 = −2.
Nola konpontzen da bigarren mailako ekuazio bat?
Formula orokorrarekin: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, non ekuazioak ax² + bx + c = 0 forma duen. Lehenik eta behin, a, b eta c identifikatu, diskriminantea kalkulatu eta formula aplikatu. Kalkulagailu honek pauso osoak erakusten ditu.
Zer da diskriminatzailea?
Diskriminante Δ = b² − 4ac benetako soluzioen kopurua zehazten du: Δ > 0 bi soluzio desberdin daude, Δ = 0 soluzio bikoitza, eta Δ < 0 ez benetako soluziorik (konplexuak dira).
Nola konpontzen da 2×2 ekuazio sistema bat?
Hiru metodo klasikoak hauek dira : ordezkapena (ezezagun bat garbitzea eta ordezkatzea), berdintzea (bietan ezezagun bera garbitzea) eta murrizketa (ekuazioak batu edo kentzea ezezagun bat ezabatzeko). Cramer-en arauarekin ere konpon daiteke determinatzaileak erabiliz.
Nola konpontzen da lehen mailako ekuazio bat?
Terminoak alde batean x eta bestean zenbakiak dituzten taldekatu, eta argitu: ax + b = 0 → x = −b/a. Adibidea: 3x + 6 = 0 → x = −6/3 = −2.
How do I solve a quadratic equation?
Use the quadratic formula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, for equations of the form ax² + bx + c = 0. Identify a, b and c, compute the discriminant and apply the formula. This calculator shows full working.
What is the discriminant?
The discriminant Δ = b² − 4ac determines the number of real solutions: Δ > 0 gives two distinct solutions, Δ = 0 one repeated solution, Δ < 0 no real solutions (they are complex).
How do I solve a 2×2 system of equations?
The three classic methods are substitution, equating and elimination. It can also be solved with Cramer's rule using determinants.
How do I solve a linear equation?
Group x-terms on one side and numbers on the other, then isolate: ax + b = 0 → x = −b/a. Example: 3x + 6 = 0 → x = −2.
Tipos de ecuaciones y cómo resolverlas
La calculadora resuelve tres tipos de ecuaciones algebraicas. Ecuación de 1er grado (ax + b = c): una sola incógnita, solución única x = (c − b) / a. Ecuación de 2º grado (ax² + bx + c = 0): se resuelve mediante el discriminante Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 hay dos raíces reales; si Δ = 0 una raíz doble; si Δ < 0 no hay raíces reales.
Sistema de ecuaciones 2×2
Dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y). La calculadora aplica el método de sustitución: despeja una variable en la primera ecuación y la sustituye en la segunda. Geométricamente, cada ecuación es una recta; la solución es el punto de intersección. Si las rectas son paralelas (Δ = 0), el sistema es incompatible; si son la misma recta, tiene infinitas soluciones.
Cuándo usar cada tipo
1er grado para problemas de mezclas, velocidades y proporciones. 2º grado para caída libre, tiro parabólico, áreas y optimización. Sistemas 2×2 para problemas con dos variables desconocidas simultáneas.
Tipus d'equacions i com resoldre-les
La calculadora resol tres tipus d'equacions algebraiques. Equació de 1r grau (ax + b = c): una única solució desconeguda x = (c − b) / a. Equació de segon grau (ax² + bx + c = 0): resolta pel discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0 hi ha dues arrels reals; si Δ = 0 una arrel doble; si Δ < 0 no hay raíces reales.
Sistema d'equacions 2×2
Dues equacions amb dues incògnites (x i y). La calculadora aplica el mètode de substitució: elimina una variable de la primera equació i la substitueix a la segona. Geomètricament, cada equació és una recta; la solució és el punt d'intersecció. Si les línies són paral·leles (Δ = 0), el sistema és incompatible; si són la mateixa línia, té solucions infinites.
Quan utilitzar cada tipus
1r grau per problemes de mescles, velocitats i proporcions. 2n grau per caiguda lliure, tir parabòlic, àrees i optimització. 2×2 sistemes per a problemes amb dues variables desconegudes simultànies.
Ekuazio motak eta nola konpondu
Kalkulagailuak hiru motatako ekuazio algebraiko konpontzen ditu. 1. mailako ekuazioa (ax + b = c): soluzio bakarra, ezezagun bakarra, x = (c − b) / a. 2. mailako ekuazioa (ax² + bx + c = 0): Δ = b² − 4ac diskriminatzaileak konpontzen du. Δ > 0 badira, bi erro erreal daude; Δ = 0 erro bikoitza; Δ baldin eta < 0 no hay raíces reales.
2×2 ekuazioen sistema
Bi ekuazio bi ezezagun dituzten (x eta y). Kalkulagailuak ordezkapen metodoa aplikatzen du: lehen ekuazioan aldagai bat garbitzen du eta bigarrenean ordezkatzen du. Geometrikoki, ekuazio bakoitza lerro bat da; soluzioa gurutzaketa puntua da. Lerroak paraleloak badira (Δ = 0), sistema bateragaitza da; lerro bera badira, soluzio infinituak ditu.
Noiz erabili mota bakoitza
1. maila nahasketaren, abiaduren eta proportzioen arazoetarako. 2. mailakoa erorketa librerako, tiro parabolikoa, eremuak eta optimizazioa. 2×2 sistema bi aldagai ezezagun aldi berean dituzten arazoetarako.
Types of equations and how to solve them
The calculator solves three types of algebraic equations. First-degree (linear) equation (ax + b = c): one unknown, unique solution x = (c − b) / a. Second-degree (quadratic) equation (ax² + bx + c = 0): solved using the discriminant Δ = b² − 4ac. If Δ > 0 there are two real roots; Δ = 0 gives a double root; Δ < 0 means no real roots.
2×2 system of equations
Two equations with two unknowns (x and y). The calculator uses substitution: isolate one variable in the first equation and substitute it into the second. Geometrically, each equation is a line; the solution is their intersection point. Parallel lines (Δ = 0) mean no solution; coincident lines mean infinitely many solutions.
When to use each type
Linear equations for mixture, speed, and proportion problems. Quadratic equations for free fall, projectile motion, area, and optimisation. 2×2 systems for problems with two simultaneous unknown variables.