△ Resolver TriánguloResol triangleTriangelua konpondu Solve Triangle

Ejemplos resueltos

  • Dos lados y el ángulo entre ellos (ley del coseno): a = 7, b = 8 y C = 60°. c² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 60° = 49 + 64 − 56 = 57, así que c ≈ 7,55. Área: ½ · 7 · 8 · sen 60° ≈ 24,25.
  • Dos ángulos y un lado (ley del seno): A = 40°, B = 60° y a = 10. El tercer ángulo es C = 180° − 40° − 60° = 80°. Entonces b = 10 · sen 60° ÷ sen 40° ≈ 13,47 y c = 10 · sen 80° ÷ sen 40° ≈ 15,32.
  • Tres lados (fórmula de Herón): lados 3, 4 y 5. Semiperímetro s = 6. Área = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6. Como 3² + 4² = 5², además es rectángulo.

Errores frecuentes

  • Calculadora en radianes: si usas una calculadora científica, comprueba que está en grados (DEG); sen 60 en radianes da un valor muy distinto.
  • El caso ambiguo: con dos lados y un ángulo que no está entre ellos puede haber dos triángulos válidos, uno o ninguno. Revisa si el ángulo obtenido con el seno admite también su suplementario.
  • Datos imposibles: tres lados solo forman triángulo si cada uno es menor que la suma de los otros dos (desigualdad triangular), y los ángulos deben sumar 180°.

Exemples resolts

  • Dos costats i l'angle entre ells (llei del cosinus): a = 7, b = 8 i C = 60°. c² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 60° = 49 + 64 − 56 = 57, així que c ≈ 7,55. Àrea: 1/2 · 7 · 8 · sen 60° ≈ 24.25.
  • Dos angles i un costat (llei del sinus): A = 40°, B = 60° i A = 10. El tercer angle és C = 180° − 40° − 60° = 80°. Llavors b = 10 · SIN 60° ÷ SIN 40° ≈ 13,47 i C = 10 · SIN 80° ÷ SIN 40° ≈ 15,32.
  • Tres costats (fórmula de Heron): costats 3, 4 i 5. Semiperímetre s = 6. Àrea = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6. Com que 3² + 4² = 5², també és un rectangle.

Errors comuns

  • Calculadora de radians: si utilitzes una calculadora científica, comprova que estigui en graus (SDR); sin 60 en radians dóna un valor molt diferent.
  • El cas ambigu: amb dos costats i un angle que no està entre ells, poden haver-hi dos triangles vàlids, un o cap. Comprova si l'angle obtingut amb el sinus també admet el seu suplementari.
  • Dades impossibles: tres costats només formen un triangle si cadascun és menor que la suma dels altres dos (desigualtat triangular), i els angles han de sumar fins a 180°.

Adibide konponduak

  • Bi alde eta haien arteko angelua (kosinuaren legea): a = 7, b = 8 eta C = 60°. c² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 60° = 49 + 64 − 56 = 57, beraz c ≈ 7,55. Azalera: 1/2 · 7 · 8 · 60° ≈ 24.25.
  • Bi angelu eta alde bat (sinus legea): A = 40°, B = 60° eta a = 10. Hirugarren angelua C = 180° − 40° − 60° = 80° da. Orduan b = 10 · sin 60° ÷ sin 40° ≈ 13,47 eta c = 10 · sin 80° ÷ sin 40° ≈ 15,32.
  • Hiru alde (Heron-en formula): 3, 4 eta 5. aldeak. Semiperimetroa s = 6. Azalera = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6. 3² + 4² = 5² denez, laukizuzen bat ere bada.

Ohiko akatsak

  • Radian kalkulagailua: kalkulagailu zientifiko bat erabiltzen baduzu, egiaztatu graduetan (SDR) dagoela; sin 60 radianetan balio oso desberdina ematen du.
  • Kasu anbiguoa: bi alde eta haien artean ez dagoen angelu batekin, bi triangelu baliozkoak egon daitezke, bat edo bat ere ez. Egiaztatu sinus batekin lortutako angeluak ere osagarria onartzen duen.
  • Datu ezinezkoak: hiru aldeek triangelu bat osatzen dute bakoitza beste biak baino txikiagoa bada (triangelu desberdintasuna), eta angeluek 180°-ra batzen dute.

Worked examples

  • Two sides and the included angle (law of cosines): a = 7, b = 8 and C = 60°. c² = 7² + 8² − 2 · 7 · 8 · cos 60° = 49 + 64 − 56 = 57, so c ≈ 7.55. Area: ½ · 7 · 8 · sin 60° ≈ 24.25.
  • Two angles and a side (law of sines): A = 40°, B = 60° and a = 10. The third angle is C = 180° − 40° − 60° = 80°. Then b = 10 · sin 60° ÷ sin 40° ≈ 13.47 and c = 10 · sin 80° ÷ sin 40° ≈ 15.32.
  • Three sides (Heron's formula): sides 3, 4 and 5. Semi-perimeter s = 6. Area = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6. Since 3² + 4² = 5², it is also a right triangle.

Common mistakes

  • Calculator in radians: on a scientific calculator, check it is in degrees (DEG); sin 60 in radians gives a very different value.
  • The ambiguous case: with two sides and a non-included angle there may be two valid triangles, one or none. Check whether the angle found with the sine also allows its supplement.
  • Impossible data: three sides only form a triangle if each is shorter than the sum of the other two (triangle inequality), and the angles must add up to 180°.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la ley de cosenos?

La ley de cosenos generaliza el teorema de Pitágoras: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Se usa para resolver triángulos en los casos SSS y SAS. Para C = 90°, cos(90°) = 0 y la ecuación se reduce al teorema de Pitágoras.

¿Qué es la ley de senos?

La ley de senos establece que a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Se usa para los casos AAS y ASA, donde conocemos dos ángulos y un lado. Es la ley más práctica cuando ya conocemos un ángulo opuesto a un lado conocido.

¿Qué datos necesito para resolver un triángulo?

Necesitas al menos tres elementos (lados y/o ángulos), con al menos un lado. Los casos posibles son: SSS (3 lados), SAS (2 lados + ángulo entre ellos), AAS/ASA (2 ángulos + 1 lado), SSA (ambiguo). Los 3 ángulos (AAA) no determinan un triángulo único.

¿Cómo calcular el área sin la altura?

Con dos lados y el ángulo entre ellos: Área = (1/2)·a·b·sin(C). Con los tres lados usa la fórmula de Herón: s = (a+b+c)/2, Área = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)).

Què és la llei del cosinus?

La llei dels cosinus generalitza el teorema de Pitàgores: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). S'utilitza per resoldre triangles en els casos SSS i SAS. Per C = 90°, cos(90°) = 0 i l'equació es redueix al teorema de Pitàgores.

Quina és la llei dels pits?

La llei dels sins estableix que a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). S'utilitza en casos AAS i ASA, on coneixem dos angles i un costat. És la llei més pràctica quan ja coneixem un angle oposat a un costat conegut.

Quines dades necessito per resoldre un triangle?

Necessites almenys tres elements (costats i/o angles), amb almenys un costat. Els possibles casos són: SSS (3 costats), SAS (2 costats + angle entre ells), AAS/ASA (2 angles + 1 costat), SSA (ambigu). Els 3 angles (AAA) no determinen un sol triangle.

Com calcular l'àrea sense l'alçada?

Amb dos costats i l'angle entre ells: Àrea = (1/2)·a·b·sin(C). Amb els tres costats utilitza la fórmula d'Heron: s = (a+b+c)/2, Àrea = √(s·( s−a)· (s−b)· (s−c)).

Zer da kosinuaren legea?

Kosinus legeak Pitagorasen teorema orokortzen du: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). SSS eta SAS kasuetan triangeluak konpontzeko erabiltzen da. C = 90°, cos(90°) = 0 eta ekuazioa Pitagorasen teoremara murrizten da.

Zer da bularren legea?

Sinoen legeak dio a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). AAS eta ASA kasuetan erabiltzen da, non bi angelu eta alde bat ezagutzen ditugun. Praktikoena da dagoeneko ezagutzen dugun alde baten aurkako angelua ezagutzen dugunean.

Zein datu behar ditut triangelu bat konpontzeko?

Gutxienez hiru elementu behar dira (alde eta/edo angeluak), gutxienez alde batekin. Kasu posibleak hauek dira: SSS (3 alde), SAS (2 alde + bien arteko angelua), AAS/ASA (2 angelu + 1 alde), SSA (zalantzazkoa). 3 angeluek (AAA) ez dute triangelu bakar bat zehazten.

Nola kalkulatu azalera altuerarik gabe?

Bi aldeekin eta bien arteko angeluarekin: Azalera = (1/2)·a·b·sin(C). Hiru aldeekin Heronen formula erabiltzen du: s = (a+b+c)/2, Azalera = √(s·( s−a)· (s−b)· (s−c)).

What is the law of cosines?

The law of cosines generalises Pythagoras: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Used for SSS and SAS cases. When C = 90°, it reduces to the Pythagorean theorem.

What is the law of sines?

The law of sines: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Used for AAS and ASA cases when you know two angles and one side.

What data do I need to solve a triangle?

At least three elements including at least one side. Valid cases: SSS, SAS, AAS, ASA. The SSA case can be ambiguous. AAA (three angles only) does not determine a unique triangle.

How to calculate area without height?

With two sides and the included angle: Area = (1/2)·a·b·sin(C). With three sides use Heron's formula: s = (a+b+c)/2, Area = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)).

Resolver triángulos: leyes del seno y del coseno

Para resolver un triángulo (encontrar todos sus lados y ángulos) se necesitan al menos tres datos, con al menos un lado. La calculadora admite tres combinaciones:

SSS (tres lados): usa la ley del coseno para encontrar los ángulos: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). AAS (dos ángulos y un lado): el tercer ángulo = 180° − A − B; luego ley del seno a/sin A = b/sin B = c/sin C. SAS (dos lados y el ángulo entre ellos): ley del coseno para el tercer lado, luego ley del seno para los ángulos restantes.

Área, circunradio e inradio

El área se calcula como (1/2)·a·b·sin C o mediante la fórmula de Herón: √(s(s−a)(s−b)(s−c)) con s = (a+b+c)/2. El circunradio R = a/(2·sin A) es el radio de la circunferencia circunscrita. El inradio r = Área/s es el radio de la circunferencia inscrita. En un triángulo rectángulo, la fórmula de Pitágoras a² + b² = c² es un caso especial de la ley del coseno con C = 90°.

Resolució de triangles: lleis del sinus i del cosinus

Per resoldre un triangle (trobar tots els seus costats i angles) necessites almenys tres dades, amb almenys un costat. La calculadora suporta tres combinacions:

SSS (tres costats): utilitza la llei del cosinus per trobar els angles: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). AAS (dos angles i un costat): el tercer angle = 180° − A − B; després la llei del senyal a/sense A = b/sense B = c/sense C. SAS (dos costats i l'angle entre ells): llei del cosinus per al tercer costat, després llei del sinus per als angles restants.

Àrea, circumradi i radi interior

L'àrea es calcula com (1/2)·a·b·sin C o per la fórmula d'Heron: √(s(s−a)(s−b)(s−c)) amb s = (a+b+c)/2. El radi circum R = a/(2·sense A) és el radi de la circumferència circumscrita. El radi interior r = Àrea/s és el radi de la circumferència inscrita. En un triangle rectangle, la fórmula pitagòrica a² + b² = c² és un cas especial de la llei del cosinus amb C = 90°.

Triangeluak konpontzea: Sinus eta Kosinusoaren Legeak

Triangelu bat konpontzeko (bere alde eta angelu guztiak aurkitzeko) gutxienez hiru datu zati behar dituzu, gutxienez alde batekin. Kalkulagailuak hiru konbinazio onartzen ditu:

SSS (hiru alde): kosinu legea erabiltzen du angeluak aurkitzeko: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). AAS (bi angelu eta alde bat): hirugarren angelua = 180° − A − B; ondoren, sinusoi legea a/A gabe = b/B gabe = c/C gabe. SAS (bi alde eta bien arteko angelua): kosinu legea hirugarren aldearentzat, gero sinusoaren legea gainerako angeluentzat.

Azalera, zirkundarra eta barne-erradioa

Azalera (1/2)·a·b·sin C bezala kalkulatzen da edo Heron-en formularen arabera: √(s(s−a)(s−b)(s−c)) s = (a+b+c)/2. Zirkundarra R = a/(2··gabe) zirkunferentziaren erradioa da. R = Azalera/s erradioa inskribatutako zirkunferentziaren erradioa da. Triangelu zuzen batean, Pitagorasen formula a² + b² = c² kosinuaren legearen kasu berezia da, C = 90°-rekin.

Solving triangles: law of sines and cosines

To solve a triangle (find all sides and angles) you need at least three pieces of information, including at least one side. The calculator accepts three combinations:

SSS (three sides): uses the law of cosines to find the angles: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc). AAS (two angles and one side): the third angle = 180° − A − B; then law of sines a/sin A = b/sin B = c/sin C. SAS (two sides and the included angle): law of cosines for the third side, then law of sines for the remaining angles.

Area, circumradius, and inradius

Area is calculated as (1/2)·a·b·sin C or using Heron's formula: √(s(s−a)(s−b)(s−c)) where s = (a+b+c)/2. The circumradius R = a/(2·sin A) is the radius of the circumscribed circle. The inradius r = Area/s is the inscribed circle radius. In a right triangle, Pythagoras' theorem a² + b² = c² is a special case of the law of cosines with C = 90°.